함수는 꼭 수식일 필요가 없다?

함수는 꼭 수식일 필요가 없다?

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"함수"라는 개념은 수학, 프로그래밍, 과학 등 다양한 분야에서 사용되며, 각 분야마다 그 의미와 쓰임이 조금씩 다릅니다. 우리가 흔히 알고 있는 함수의 기본적인 정의 외에도, 잘 알려지지 않았거나 오해하기 쉬운 점들이 몇 가지 있습니다.

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자판기를 고친 돼지: 함수 | 백명식 - 교보문고

1. 함수는 꼭 수식이어야 할까?

● 오해: 함수는 항상 수식(예: f(x) = x + 1)으로만 표현된다고 생각하기 쉽습니다.

● 사실: 함수는 임의의 규칙, 표, 그래프, 알고리즘 등 다양한 방식으로 정의될 수 있습니다. 예를 들어, "각 사람에게 그의 주민등록번호를 대응시키는 것"도 함수입니다.

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2. 함수의 입력값(정의역)과 출력값(공역, 치역)의 차이

● 정의역: 함수에 넣을 수 있는 모든 값의 집합

● 공역: 함수가 값을 내보낼 수 있는 모든 집합(출력값이 속해야 하는 집합)

● 치역: 실제로 함수가 출력하는 값들의 집합

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예시 : (x) = x²

● 정의역: 실수 전체(ℝ), 공역: 실수 전체(ℝ), 치역: 0 이상인 실수(즉, [0, ∞))

1) 정의역(Domain)

● x에 어떤 실수든 넣을 수 있습니다.

예: x = -2, 0, 1.5, 100 등 모두 가능합니다.

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2) 공역(Codomain)

● 함수가 값을 내보낼 수 있는 전체 집합을 “설정”합니다.

● 여기서는 공역을 “실수 전체(ℝ)”로 정했습니다.

● 즉, 함수의 출력값이 실수라면 무엇이든 될 수 있다고 “정의”한 것입니다.

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3) 치역(Range)

● 실제로 함수에 모든 실수 x를 넣어서 나오는 값만 모은 집합입니다.

● x²는 어떤 실수 x를 넣어도 항상 0보다 같거나 큰 값만 나옵니다.

(예: (-3)² = 9, 0² = 0, 2.5² = 6.25 등)

그래서 치역은 **0 이상인 실수([0, ∞))**입니다.

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4) 공역과 치역의 차이

● 공역: 함수 정의에서 “출력값이 속해야 한다”고 설정한 집합 (여기서는 실수 전체)

● 치역: 실제로 함수가 만들어내는 값들만 모은 집합 (여기서는 0 이상 실수)

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5) 왜 공역과 치역이 다를 수 있습니다

● 공역은 “이 함수의 결과는 실수 중 하나일 거야”라고 넓게 잡은 집합입니다.

● 하지만 실제로는 x²라는 함수의 특성 때문에, 음수는 절대 나올 수 없습니다.

● 그래서 공역에는 음수도 있지만, 치역에는 음수가 없습니다.

→ 공역과 치역은 다를 수 있습니다.

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3. 함수는 한 입력에 여러 출력을 가질 수 있을까?

● 아니요. 함수는 "하나의 입력에 대해 오직 하나의 출력"만을 가져야 합니다. 만약 하나의 입력에 여러 출력이 대응된다면, 그것은 함수가 아닙니다.

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4. 함수는 역함수를 항상 가질까?

● 오해: 모든 함수에 역함수가 있다고 생각하기 쉽습니다.

● 사실: 역함수는 "일대일 대응"인 함수에서만 존재합니다. 즉, 서로 다른 입력이 같은 출력을 내면 역함수가 정의되지 않습니다

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● 역함수가 없는 경우

● f(x) = x², 정의역: 실수 전체, 공역: 0 이상 실수

● f(2) = 4, f(-2) = 4

● 4의 역값은 2일까요, -2일까요? 둘 다 가능해서 역함수가 정의되지 않습니다.

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5. 함수의 그래프가 곡선일 수도 있다?

네. 함수의 그래프는 직선이 아니라 곡선, 꺾인 선, 점선 등 여러 형태가 될 수 있습니다. 단, "수직선 검사"를 통과해야 함수의 그래프입니다. 수직선 검사는 임의의 x값에 대해, 그래프 위의 점이 하나만 있어야 한다는 뜻입니다. 즉, 모든 x 값마다 y 값이 하나씩만 존재해야 그 그래프가 함수의 그래프라는 뜻입니다. 만약 어떤 x 값에서 그래프가 두 점 이상과 만난다면, 그건 함수가 아닙니다.

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6. 프로그래밍에서의 함수와 수학적 함수의 차이

● 프로그래밍 함수: 입력값이 없거나 여러 개일 수도 있고, 출력을 하지 않거나(반환값 없음) 여러 개 반환할 수도 있습니다. 또, 내부 상태(변수)를 바꾸기도 합니다.

● 수학적 함수: 입력값마다 정확히 하나의 출력만을 가집니다. "부작용(side effect)"이 없습니다.

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7. 함수 합성, 고차 함수

● 함수는 다른 함수를 입력받거나, 반환할 수 있습니다(고차 함수).

● 여러 함수를 "합성"하여 새로운 함수를 만들 수도 있습니다.

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8. 실생활의 함수 예시

● 자판기에 돈을 넣으면 음료수가 나오는 것

● 스마트폰에 전화번호를 입력하면 상대방에게 전화가 걸리는 것

→ 이런 것도 모두 "함수적 사고"로 볼 수 있습니다.

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