연산에 관한 기본적인 상식 깨기
연산에 관한 기본적인 상식 깨기
1. 연산은 수학만의 용어가 아니다
연산은 “어떤 규칙에 따라 두 개 이상의 대상을 조합하거나 변형하는 절차”라는 의미로, 수학뿐 아니라 컴퓨터, 논리, 언어, 과학, 예술 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다.
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1) 컴퓨터 과학
● 논리 연산:
AND, OR, NOT과 같이 참/거짓(1/0) 값을 다루는 연산입니다.
예) 1 AND 0 = 0, 1 OR 0 = 1
● 비트 연산:
컴퓨터가 데이터를 처리할 때 2진수(비트 단위)로 연산합니다.
예) 1010 & 1100 = 1000
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2) 논리학
● 명제 논리 연산:
그리고(∧)’, ‘또는(∨)’, ‘아니다(¬)’ 등 논리적 명제의 참/거짓을 따지는 연산이 있습니다.
3) 언어학
● 형식 언어의 연산:
단어를 결합하거나 변형하는 연산, 예를 들어 두 단어를 합쳐 새로운 단어를 만드는 것(‘합성어’ 생성 등)이 있습니다.
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4) 기타 분야
● 집합론:
합집합, 교집합, 차집합 등도 모두 집합에 대한 연산입니다.
● 음악:
음계를 전조(transposition)하거나, 패턴을 변형하는 것도 일종의 연산으로 볼 수 있습니다.
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2. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈만이 연산이 아니다
● 집합의 합집합, 교집합도 연산입니다.
● 합성, 행렬의 곱셈, 벡터의 내적/외적 등도 모두 연산의 일종입니다.
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3. 연산에는 ‘항등원’, ‘역원’ 등 개념이 따라붙는다
예를 들어, 덧셈의 항등원은 0, 곱셈의 항등원은 1입니다. 어떤 수에 0을 더해도 그 수가 변하지 않지요. ‘역원’은 연산을 통해 항등원을 만드는 값입니다. 예를 들어, 3의 덧셈 역원은 -3입니다. (3 + (-3) = 0)
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4. 연산의 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙
덧셈과 곱셈은 결합법칙과 교환법칙이 성립하지만, 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않습니다.
예: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) (결합법칙)
예: 2 - (3 - 4) ≠ (2 - 3) - 4
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5. 컴퓨터에서의 연산은 사람이 생각하는 것과 다르다
컴퓨터는 2진수로 연산합니다. 10진법의 1 + 1이 컴퓨터에서는 2진법으로 10이 됩니다.
부동소수점 연산에서는 ‘정확히’ 계산되지 않는 경우가 많습니다. (예: 0.1 + 0.2 ≠ 0.3)
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1) 부동소수점 연산이란
컴퓨터에서 실수(소수점이 있는 수)를 표현할 때 사용하는 방식입니다. 2진수(0과 1)로 숫자를 저장하므로, 10진수의 모든 소수를 정확하게 표현할 수 없습니다.
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2) 왜 정확하지 않을까?
0.1, 0.2, 0.3 같은 10진 소수는 2진수로 딱 떨어지지 않습니다. 예를 들어, 0.1을 2진수로 표현하면 0.000110011001100... (무한 반복) 형태가 됩니다. 컴퓨터는 저장 공간(비트 수)이 한정되어 있기 때문에, 중간에 잘라서 근사값으로 저장합니다.
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3) 실제 예시
파이썬 등 프로그래밍 언어에서:
print(0.1 + 0.2)
# 출력 결과: 0.30000000000000004
print(0.1 + 0.2 == 0.3)
# 출력 결과: False
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마왕의 수수께끼를 푼 돼지: 숫자의 탄생 | 백명식 - 교보문고
마왕의 수수께끼를 푼 돼지: 숫자의 탄생 | 『마왕의 수수께끼를 푼 돼지: 숫자의 탄생』 은 우주 마왕에게 숫자를 빼앗긴 매틱별은 마왕이 낸 숫자 수수께끼를 풀어야만 해요. 숫자를 찾으러 지
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4) 이유:
0.1 + 0.2를 계산하면 내부적으로 0.30000000000000004가 저장되어 0.3과 완전히 같지 않기 때문입니다.
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6. 연산의 우선순위
수식에서 연산이 어떤 순서로 적용되는지가 중요합니다. 괄호가 없으면 곱셈/나눗셈이 덧셈/뺄셈보다 먼저 계산됩니다.
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7. 연산은 추상화될 수 있다
집합론, 군론, 환론 등 추상대수학에서는 연산의 성질만을 따로 떼어 일반화합니다.
예를 들어, 군(GROUP)이라는 구조는 ‘하나의 연산과 그에 대한 몇 가지 규칙’만으로 정의할 수 있습니다.
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8. 연산의 결과가 항상 숫자일 필요는 없다
문자열 결합(“Hello” + “World” = “HelloWorld”), 집합 연산, 논리 연산 등은 결과가 숫자가 아닐 수도 있습니다.
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해결사가 된 돼지 | 용감한 돼지 삼총사와 떠나는 창의적 수학 교과서 「돼지학교 수학」 제4권 『해결사가 된 돼지: 분수와 소수』. 이 책은 우리 생활 깊숙이 들어와 있는 분수와 소수에 대해
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9. 연산의 정의는 우리가 정하기 나름이다
새로운 연산을 정의할 수 있습니다. 예를 들어, a ⊕ b = a + 2b와 같이 새로운 기호와 규칙을 만들 수 있습니다.
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달라도 너무 다른 수학책 | 초등학생이 배울 수 있는 수학, 중학생이 배울 수 있는 수학, 고등학생이 배울 수 있는 수학, 정말 따로 있는 걸까요? 아닙니다. 수학이 기초가 중요하다고 말하는 이
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10. 연산 오류와 한계
실제 계산(특히 컴퓨터나 계산기)에서는 오버플로우, 언더플로우, 반올림 오차 등 다양한 문제가 발생할 수 있습니다.
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이처럼 연산은 단순한 계산을 넘어 다양한 수학적·논리적 사고의 바탕이 되며, 우리가 일상적으로 사용하는 것보다 훨씬 넓고 깊은 세계가 있습니다!
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네가 태어난 날엔 곰도 춤을 추었지 | 동물원의 곰이 잠든 이유를 알고 있니?미국의 낸시 틸먼의 『네가 태어난 날엔 곰도 춤을 추었지』. 자신이 태어난 날에 대해 궁금해하는 아이를 위해 창작
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장벽: 세상에서 가장 긴 벽 | 분리, 배제. 그 욕망에서 시작된 벽. 인류는 오래전부터 벽을 세워 왔습니다. 인종, 민족, 문화, 종교, 사상 등에 따라 서로를 분리하고 배제하려는 욕망은 어느 시대
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